以数学的角度分析赌博

吕建浩

澳门大学数学系

关键词：概率、赌博

        我是在澳门大学攻读的数学硕士学位，自己在澳门生活了很多年。很多我的朋友听到关键字“数学”和“澳门”之后，都很自然地会联想到赌博，并且还会向我请教赌博赢钱的诀窍，甚至是买彩票的技巧。在澳门我会经常去赌场，但是从来没有参与过赌博。学习概率知识并不会因此找到更好的赌博技巧，反而会认识到赌博的欺骗性，所以一个理性的人是不会参与赌博的。事实上没有任何一个学科可以指导你从赌博中获利，想通过赌博发财的同学可以歇歇了。

        很多人受到《赌神》系列电影的影响，认为赌场里非常混乱，庄家会出老千，而且大部分人都是黑社会，一言不合就动刀动枪的。对于这点，我可以负责任地告诉大家，类似事情在澳门的正规赌场绝不可能发生。恰恰相反，澳门的赌博行业是严格守法的，而且澳门本地整体的治安普遍都很好。所以在澳门的赌场，你完全不用担心从赌场赢钱之后的人身安全问题。不过大家要注意，在澳门，赌场严格执行着21岁以下青少年不允许进入赌场的规定，所以小孩子去澳门旅游的话就不要想着看赌场了（赌场的保安不会逐一检查游客证件，只是在看到年龄可疑的青少年之后，才会要求出示证件。所以长相比较老的小朋友还是可以浑水摸鱼进入赌场的）。与此类似，国内的彩票也不会出现人为控制彩票结果的情况，但是国内体彩福彩更大的问题是盈利资金的去向不透明。比如双色球规则规定彩票收益的35%应用于公益支出，但是缺乏相应的监管。

        赌场里面最简单的赌博方式就是骰宝，也叫赌大小[1]。下面的图片是一张典型的骰宝赌台的样子：

图一：骰宝赌台。

对于骰宝而言，最常见的赌法是买骰子点数的大小（总点数为4至10称作小，11至17为大，围骰除外。围骰指三个骰子点数相同，这种情况之下无论押大押小，庄家通吃）如果押对了大小，那么赢和本钱相同的数目，如果押错了，或者出现围骰的情况，那么本钱就归赌场了。这是围骰最常见的玩法，对于其他玩法，规则类似，但是赔率不同。比如倒数第二行的两颗骰子，如果你押了最右边的（1,3）组合，而在最后的结果中也恰恰出现了1和3，那你将获得赌本5倍的奖金。最后一行的一颗骰子（也叫三军）的玩儿法有些特别，如果你押了5点，最后的结果中如果出现一个5点，你将获得赌本一倍的奖金；如果出现了两个5点，你将获得赌本两倍奖金；如果出现三个5点，你将获得赌本三倍奖金。下表给出了各个游戏玩儿法的规则以及胜率和庄家的期望优势。

玩法	闲家胜出方法	成功概率	成功后赢钱数目	失败概率	失败后赢钱数目	赢钱期望
大	大:总点数11至17(遇围骰庄家通吃)	0.48611	1	0.51389	-1	-0.0278
小	小:总点数为4至10(遇围骰庄家通吃)	0.48611	1	0.51389	-1	-0.0278
围骰	投注指定的围骰(如1围骰)，一定开出3颗所投注的骰子	0.00463	150	0.99537	-1	-0.3009
全围	3颗骰子都一样	0.02778	24	0.97222	-1	-0.3056
对子(双骰、长牌)	投注指定的双骰(如双1点)，至少开出2颗所投注的骰子	0.07407	8	0.92593	-1	-0.3333
牌九式(骨牌、短牌)	投注15种2颗骰子可能出现数字不同的组合(如1，2)	0.13889	5	0.86111	-1	-0.1667
三颗骰子点数总和	总和为4或17点	0.01389	50	0.98611	-1	-0.2917
	总和为5或16点	0.02778	18	0.97222	-1	-0.4722
	总和为6或15点	0.0463	14	0.9537	-1	-0.3056
	总和为7或14点	0.06944	12	0.93056	-1	-0.0972
	总和为8或13点	0.09722	8	0.90278	-1	-0.125
	总和为9或12点	0.11574	6	0.88426	-1	-0.1898
	总和为10或11点	0.125	6	0.875	-1	-0.125
下注在单一个点数(三军)	投注点数出现1次	0.34722	1	0.5787	-1	-0.0787
	投注点数出现2次	0.06944	2
	投注点数出现3次	0.00463	3

表一：骰宝下注期望表

 

        我来解释一下上述表格，我们假设赌客的投注金额为1个单位。则在这个表格中显示了赌客参与骰宝各种下注方式时输赢概率以及期望，为了方便观察，我们将赢钱设为正数（用绿色标明），输钱设为负数（用红色标明）比如第四行表示赌客投注全围的话，全围成功出现概率为0.02778，一旦出现全围，赌客会赢钱24个单位；全围不出现概率为0.97222，这种情况下赌客会输钱1个单位赌本（我们记为赢钱-1个单位）。所以总体来看，赌客赢钱期望为

0.02778×24+0.97222× (-1)= -0.3056，

即赌客输钱期望为0.3056。计算方法最为特别的就是最后一行，下注在单一点数（三军）。与前面类似，但是赢得情况分为三种：有0.34722的概率投注点数出现1次，此时赌客赢钱1个单位；有0.06944的概率投注点数出现2次，此时赌客赢钱2个单位；有0.00463的概率投注点数出现3次，此时赌客赢钱3个单位。投注点数不出现的概率为0.5787，此时赌客输钱1个单位。综上所述，对于三军的投注方式，赌客赢钱期望为

0.34722×1+0.06944×2+0.00463×3+0.5787× (-1)= -0.0787，

即赌客输钱期望为0.0787。我们关心的是最后一列赢钱期望，怎么全是红色，没有绿色？那是当然了，如果有绿色正数期望的话，赌场不就赔钱了吗？赌场又不傻。

        正如刚才规则当中介绍的，如果赌客选择赌大小的话，由于围骰的时候无论大小，庄家通吃，所以庄家赢的概率比1/2稍高一点点，为51.39%，闲家赢的概率自然就小那么一点点，为48.61%，也就是庄家对闲家的优势有2.78%，准确的说是1/36，这也是在骰宝押注中赌场优势最小的下注方式。通俗来讲，就是你如果在赌桌上放100港币的话，那平均你要损失2.78港币（在澳门的赌场并不以人民币或者澳门币结算，而是以港币结算）。乍看起来似乎庄家的优势并不大，只有不到3%，不过是赌金数额中零头的零头罢了。你可千万不要小看这不到3%的优势，举个例子，你如果把100元钱存到银行一年时间，才会慢吞吞地生出来大约3元的利息，而把这100元钱放到赌桌上，只需不到一分钟你便损失了2元多钱。何况100元通常是你参与赌博的最小的数目而已，而且很多其它赌博方式中，庄家的优势也是大于3%的。你说赌博的损失大不大？

        很多老人会以十赌九输来劝诫赌徒，不要参与赌博，事实上这种说法是错误的。根据不同的赌博方式，输赢概率会略有差别，但也不大。以刚刚说的赌大小为例，比较准确的说法应该是100赌51输。然而数学当中有一个大数定律，大概意思是说当你参与赌博次数足够多的情况下，则输钱的频率和理论概率值的差异会足够小。由于输钱的理论概率值为51.39%，所以如果你经常赌博的话，几乎一定是输多赢少，而且参与次数越多，输的越多。所以久赌必输，下面的表格当中计算了参赌1次11次101次201次501次1001次2001次5001次10001次后赢钱次数高于输钱次数的概率（选择总数奇数次是为了避免输赢次数相同的情况发生）。

参与赌博次数	赢钱次数大于输钱次数的概率
1	0.48611
11	0.46245
101	0.38977
201	0.34665
501	0.26691
1001	0.18964
2001	0.10694
5001	0.02472
10001	0.00273

表二：参赌多次后赢钱概率表

 

以上表格说明，如果你连续参加10001次赌大小的游戏，那么你赢钱次数大于输钱次数（即赢钱次数大于等于5001次）的概率仅为0.00273，这说明赌这么多次，几乎肯定要输钱的。

        即便从概率上很容易分析出来赌博的欺骗性，但很多赌徒依然会有自己的一套理论，认为凭自己的理论可以只赢不输，事实上所有赌博赢钱的理论都是错误的。以下两种赌博方法流传甚广，下面我们来简单辨析一下这两种所谓的赌博技巧：

        第一种所谓的赌博“技巧”是我们称作加倍投注法。我们还是以赌大小为例，说明一下这个方法。加倍投注的玩法大意是说，第一次投注100，赢了就停止投注；输了就再次投注200，输了再投400，直到赢了为止或者赌本输光。你用这个方法是不违反规则的，然而庄家对每次赌注的上限和下限都有限制。比如赌注的下限是100港币上限是20万港币，为了方便计算，我们假设上限是20.48万港币（这样的话上限刚巧是下限的2048=2¹¹倍）。那如果你用这种加倍投注的方法来玩的话，最多可以加倍投注11次（这还需要你有足够多的赌本，大约是40.95万港币，如果你赌本不够这个数目，那你最多的加倍投注次数就不足11次了）。下面的表格总结了各种情况发生的概率以及收益，

事件	概率	总概率	收益
第1次赢	0.486111	0.999661	100
第1次输，第2次赢	0.249807	0.999661	100
前2次输，第3次赢	0.128373	0.999661	100
前3次输，第4次赢	0.06597	0.999661	100
前4次输，第5次赢	0.033901	0.999661	100
前5次输，第6次赢	0.017421	0.999661	100
前6次输，第7次赢	0.008953	0.999661	100
前7次输，第8次赢	0.004601	0.999661	100
前8次输，第9次赢	0.002364	0.999661	100
前9次输，第10次赢	0.001215	0.999661	100
前10次输，第11次赢	0.000624	0.999661	100
前11次输，第12次赢	0.000321	0.999661	100
连输12次	0.000339	0.999661	-409500

表三：加倍投注法收益分布图

 

由此我们可以看出来，你用这个方法有0.99966082的概率收益100港币，但是也有0.000339的概率损失40.95万港币。也就是说，你有大概率获得小收益，但是一旦连输12局的话，那损失会非常非常大。总体来看，那你收益的期望是

0.99966082×100+0.000339× (-409500)= -38.9282866，

也就是说用这种策略赌博的话，平均每次会亏本38.9282866港币。

        那第二种所谓的赌博“技巧”总结起来就是“连续开大则选小，连续开小则选大”。简单说，就是会一直在赌桌旁边守着，一直等到连续出现10次大，然后下一次赌小，因为连续出现11次大的概率只有0.000358，太小了，所以下一次赌小赢的概率会非常大。这种赌博方法错误的计算了条件概率，并且忽视了赌场任何两局之间结果相互独立的事实。的确连续出现11次大的概率很小，但是在已经连续开出10次大的前提之下，第11次出现大的概率与任何一次出现大的概率都没有任何分别。下面将以数学推导的方式给大家介绍计算方法，如果读者对于数学公式不感兴趣的话，完全可以跳过此节，直接看结论。

        我们令代表事件：连续出现10次大；B₁代表事件：第11次出现大；B₂代表事件：第11次出现小；B₃代表事件：第11次出现围骰。P(X)表示事件发生的概率，P(X|Y)表示在Y事件已发生的条件下X事件发生的概率，P(XY)表示X事件和Y事件同时发生的概率。我们令每次赌局中出现大的概率是p₁，出现小的概率是p₂，出现围骰的概率是p₃。由我们之前的表格，可以知道p₁=p₂=0.48611，p₃=0.02778。由此我们可以计算出来

则我们可以由条件概率公式算出

在上面的公式中P(B₁|A)表示在前10次出现大的情况下，第11次出现大的概率，这个概率和任何一次赌局出现大的概率相同，都是p₁。类似的结论也适用于第11次出现小和围骰的概率。由此我们可以得到结论：在经过了连续10次出现大之后，第11次出现大、小和围骰的概率和任何一次出现大、小和围骰的概率完全相同。当然我们也可以利用第11次结果和前10次结果独立的条件得出来同样的结论。所以赌博没有任何规律，前面N次的赌局结果都不会对下次的赌局产生任何影响，赌场能够暴利盈利恰恰是依赖于这种不确定性。买彩票也一样，之前100期彩票的结果也不会对这一期彩票的结果有任何影响，所以我可以负责的讲，所有分析彩票规律的专家都是骗子，无一例外。从期望上来讲彩票的期望损失更大，大概是50%，远大于赌场中3%左右的损失，所以彩票比赌博更坑。理性的人是不会买彩票和参与赌博的。

        刚才我们通过骰宝大概了解了赌场的盈利方式。赌场这种凭借期望收益盈利的模式适用于任何一种赌博形式。当然在赌场还有很多其他的赌博方法，在澳门赌场最普遍的赌博形式是百家乐[2]，进到任何一家赌场之后满眼看去，一片百家乐的赌桌，蔚为壮观。下面一张照片就是澳门威尼斯人赌场一角（图片来源于网络，澳门的赌场是不允许游客拍照的）。

图二：澳门威尼斯人赌场

        百家乐规则比较复杂，大家有兴趣的话，可以自己查阅。大意是说，你可以选择压庄家或者压闲家，压对了收钱，压错了赔钱。虽然庄家和闲家有不同的博牌（即是否需要补摸一张牌）规则，但是赌客没有权利选择是否博牌，所以和骰宝一样，一旦押注完毕，那就只能听天由命了。由于庄家赢得概率比闲家大一点，所以你赌庄赢，而且成功的话，只能拿到赌金的95%奖励，这样的话，百家乐对于赌场还是有优势的。不过百家乐是赌场期望收益最小的赌博方法之一，下注庄家，赌场的收益率（也就是赌客的赔钱率）大约只有1.0579%，下注闲家，赌场的收益率大约为1.2351%，均小于赌大小时赌场2.78%的优势，所以百家乐也是在澳门赌场最火爆的玩法。和骰宝的情况一样，无论用什么样的策略，如果长期玩百家乐的话，因为大数定律，那最后的结果也几乎一定是输钱。

        看了我的介绍之后，可能有人会反驳：“不对呀，我之前看过一个新闻，有数学家组成团队，利用数学知识，在赌场赚了很多钱。”你想说的可能是这个新闻“澳洲19名数学家组团赌博3年赢156亿元人民币” （http://news.163.com/12/0709/03/85UKG2NN00014AED.html）。之后证实这个确实是个假新闻，但是这个假新闻背后是有真实原型的：在上个世纪九十年代初期，麻省理工有个二十一点团队（MIT Blackjack Team），凭借专业的概率知识，在赌场上成功的赚了很多钱[3]。后来以这个团队的故事为蓝本，本·麦兹瑞治(Ben Mezrich)还写过一本小说叫做《贏遍賭城》（Bringing Down the House）。2008年好莱坞也据此拍过一部电影《决胜21点》，主演包括大名鼎鼎的凯文·史贝西。麻省理工二十一点团队能够赢钱，他们玩儿的绝对不是百家乐或者是骰宝这类对于赌客而言没有任何策略选择的游戏。正如这个团队的名字中写的，他们赢钱靠的是赌场上唯一一种可以在期望上赢庄家的游戏：二十一点（也叫黑杰克Blackjack）[4,5]。二十一点的游戏规则也相当复杂，一言难尽。不过规则要点就是赌客和庄家可以随意拿牌，谁的点数和大谁赢，但是点数和超过了21点的话，算作爆煲，就输了。所以你的目标就是希望自己手里的牌总和尽量大，但不能超过21点。这个游戏中庄家对于赌客有个优势，就是如果赌客爆煲了之后，无论庄家是否爆煲，赌客都算作输。本来这个游戏对于赌客而言也是无利可图的，但是如果赌客可以根据已经使用过的牌，推断出剩下的牌里的大小牌的比例，然后据此调整赌博策略的话，就可以在期望上赢过赌场。这在概率学里有个专业的名词，叫做贝叶斯理论，简而言之，就是根据更新的信息，可以得到比没有信息之前对概率更好地估计[6]。举个例子，比如你的女朋友在生气的时候就会挂掉你的电话，当然挂掉电话还可能因为其他情况，比如在开车、开会等等。如果哪天你给女朋友打电话，女友拒接，你当然不能确定她一定是生气了，但是你有理由估计，在女友挂电话的情况下，她生气的概率会比平时大一些，这个估计靠的就是贝叶斯估计。凭借贝叶斯估计，麻省理工二十一点团队赚的盆满钵满，不过也成功引起的赌场的注意。他们的团队并不违反规则，但他们还是全部进入了各个赌场的黑名单，一旦被识别出来，就会被拒绝提供服务。不要天真的认为麻省理工二十一点团队的做法可以很容易被复制，他们的玩儿法需要有团队分工配合，个人有超强的记忆力和心算能力，而且还要避免进入赌场的黑名单，所以有意模仿的同学也可以洗洗睡了。

        看完文章你可能有些失望，我并没有告诉你任何赌博的诀窍。事实上，除了骗子，谁也不会宣称找到赌博的诀窍。“小赌怡情，大赌要命”，但是，大赌都是从小赌开始的，所以我在文章的最后劝大家“珍爱生命，远离赌博”。

 

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参考文献：

[1] 骰寶. https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%AA%B0%E5%AF%B6

[2] 百家樂. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%A8%82

[3] MIT Blackjack Team. https://en.wikipedia.org/wiki/MIT_Blackjack_Team

[4] 廿一點. https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BB%BF%E4%B8%80%E9%BB%9E

[5] Jeff Ma. https://en.wikipedia.org/wiki/Jeff_Ma

[6] Bayes 27 theorem. https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem

 

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