翼型——古典与近现代流体力学的完美结晶

孟航

University of Waterloo/Faculty of Engineering

关键词：翼型，流体力学

如果有人让我说出一项和“车轮”同等重要的发明，我会毫不犹豫地说“翼型”（airfoil）。狭义的翼型指的是飞机机翼的截面形状，这种把力学与美学结合在一起的设计使现代飞行器的动力发挥到了极致。车轮让人类可以在陆上疾驰，而翼型让我们能够自由地翱翔在天际。图一展示了从莱特兄弟（Wright Brothers）开始飞机翼型的进化过程，这巨大的变化主要是由于现代飞行器的设计速度和载重量的逐渐增加，其中亚声速（subsonic）翼型和超声速（supersonic）翼型的几何形状就是完全不同的。如果人类发现了一个像我们一样生活在大气中的外星文明，仅仅是通过捕获他们的飞行器，观察一下其翼型，也许就能够窥见他们工业发展的一斑。实际上，翼型不仅应用于飞机的机翼，在船舶的螺旋桨、火力及水力发电涡轮机的叶栅、直升机的旋翼、以及风力发电机组的叶片中也能发现翼型的身影。毫不夸张地说，如果没有翼型，人类一半以上的工业活动将会减缓或停滞。在翼型的演化过程中，人们对它的认识与改进依赖于流体力学（fluid mechanics）知识的进步，而科学家们对翼型动力性能的理论研究就像《倚天屠龙记》里面的倚天剑和屠龙刀，这条线索冥冥中贯穿了古典、近代和现代两百多年流体力学的发展历程。

图一：早期飞机翼型的进化过程

伯努力（Bernoulli）与欧拉（Euler）——古典流体力学的先声（1738-1783）

故事要从1738年说起，伯努力（Daniel Bernoulli，1700-1782）在这一年发现了著名的伯努力原理，并将其发表在自己的新书《水动力学（hydrodynamics）》上。伯努力原理描述了流体中的动能和压能之间存在着的巧妙平衡关系，即动能越小，压能越大。当我们对一枚桌上的硬币吹气时，硬币有时会跳起来，这种现象的产生就是由于气流上下流速不同产生了硬币上下表面的压力差，这一压差驱动了硬币的运动。从某种程度上说，这个原理已经可以用来解释当时的风帆和风车的动力，甚至解析翼型动力的来源问题。但是伯努力并没有找到这个原理的定量表述，于是他把自己的想法写信寄给了在柏林科学院工作的自己的好朋（基）友欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）。欧拉和伯努力是瑞士巴塞尔（Basel）大学的同学。同时伯努力的父亲（Johann Bernoulli）是欧拉的大学老师，并曾经劝说欧拉从神学转到数学研究。值得一提的是，从1726年开始，欧拉和伯努力保持着长达42年的通信，通信内容涉及了数学、力学和天文学中的各种难题。读完伯努力的信之后，欧拉脑中想到解决这一问题的思路是将牛顿第二定律应用到流体分析当中，这在当时是很超前的想法。终于到了1752年，欧拉推导出了伯努力原理的一般表达式，并将其命名为伯努力方程式（Bernoulli’s Equation）。伯努力方程式成功地定量地描述了伯努力原理，但是它的缺点也是显而易见的，即这个方程式只能描述流体沿着流线的变化规律，而复杂几何体周围的流线也是异常复杂的，所以很难通过这一方程求解一般几何体的受力问题。但是欧拉很快就发现了这一问题，并于1757年获得了伯努力方程的更广义的形式，即欧拉方程组（Euler Equations），而这个通信中诞生的方程组，竟在无意中打开了理想流体力学（ideal fluid mechanics）的大门。严格来说，欧拉方程组只包含两个方程，一个动量守恒方程和一个质量守恒方程，写在纸上不过是四五英寸长（张量形式）。而就是这个四五英寸长的公式，却包含了从阿基米德（Archimedes）到当时（1757）近两千年人类的流体力学的所有知识，充分地体现了物理学的简洁美。而遗憾的是，欧拉方程组在提出之时是没有办法求解的，即使是欧拉自己也没有获得这个方程组的一般解。1783年，欧拉病逝在俄罗斯圣·彼得堡（Saint Petersburg）的家中，去世那一刻，他的案头还放着关于热气球升空计算的手稿——也是一道流体力学问题。就像那首歌里唱的，他不知疲倦地翻越一座座山丘，未能如愿见到不朽，而自己却先成了不朽。

茹科夫斯基 (Joukowsky)与库塔 (Kutta) ——柳暗花明（1783-1910）

在十八世纪末期的研究当中，人们渐渐发现欧拉方程组可以拆分成两个更简洁的方程式进而分别求解，即上文提到的著名的伯努力方程（Bernoulli’s Equation）和大名鼎鼎的拉普拉斯方程（Laplace’s Equation, 1799）。人们对伯努力方程的研究已经很清楚了，所以求解欧拉方程的关键就指向了拉普拉斯方程的求解。幸运的是，法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace，1749-1827）在提出这组方程的时候已经指出了方程的解是一种特殊的函数，即调和函数（harmonic function）。同时他还指出所有拉普拉斯方程的看似复杂的解空间其实是由几种调和函数线性叠加而成的，这就像我们可以用简单的几个音符去构造丰富多彩的大型乐章。根据这一思想，科学家们通过复变函数理论（complex function theory）作为工具求解了拉普拉斯方程，从而顺利地将关于圆柱绕流的欧拉方程解决了。这里插一句，拉普拉斯有句名言说：“读懂欧拉，读懂欧拉，他是我们所有人的老师”，而欧拉方程的求解又将两个人的名字暗暗的紧紧地联系到了一起。根据这一方法，人们又进一步求解了关于球体和椭球体的受力，但是此时对任意复杂的封闭几何体的求解，依然缺乏行之有效的方法。转折点发生在近一个世纪后，还是在沉睡着欧拉的俄罗斯土地，数学家茹科夫斯基（Nikolay Yegorovich Zhukovsky，1847-1921）在复变函数的基础上提出了保角变换（conformal mapping）的概念，这一变换可以将复杂的几何体转换成为另一空间里面的圆柱体。这就像两个平行世界，两个世界中的所有元素是一一对应的，但是形态却是完全不同的。而经过保角变换，物理空间内的复杂的几何体都可以被简化成为另一空间上的偏心圆柱，而人们对圆柱绕流的研究工作在上个世纪刚好已经完成了。依据这一方法，他进一步推导出了著名的茹科夫斯基升力定理（Joukowsky theorem），定理描述了任意几何体受的流体作用力和来流速度矢量与物面速度环量（速度沿着物面的线积分）之间的外积成正比，从伯努力开始，历经两个世纪，这一定量表达式终于被发现了。令人惊叹的是这一公式的证明是如此优雅，而结论又是如此简洁！接下来只要确定速度环量，人们就可以方便的计算出翼型的受力，从而设计翼型，我们缺的是一个定解条件。到了1910年，这个定解条件被茹科夫斯基和德国数学家库塔（Martin Kutta，1864-1944）分别独立地发现了（总有一个人和你遥远的心心相印）。而后第一批真正意义上的现代翼型出现了（茹科夫斯基翼型，如封面图片）。值得一提的是，茹科夫斯基还在俄国主持建造了世界上第一座风洞，而翼型的发展也开始走上了快车道。

普朗特 (Prandtl)与边界层理论 ——向奇点进发（1910-1946）

在这一阶段，人们将理论分析成果与风洞试验成功地相结合，翼型的设计理论也逐渐完善了起来，而关于翼型的规律都凝结在了如下左图二所示的升力曲线当中。曲线的横轴代表翼型的可调范围（攻角），纵轴代表了翼型的出力（升力）。在这期间人们也逐渐认识到：1. 翼型的弧度有利于提高翼型的最大出力；2. 翼型的厚度可以增加其可调范围（失速攻角增加，图中峰值对应的横轴位置右移）。这两个特点（弧度和厚度）都体现在了当时最有名的哥廷根翼型（Göttingen airfoils，见图一）当中。在这期间最有趣的一个翼型是Clark Y翼型，该翼型是在美国航空工程师克拉克（Virginius Evans Clark，1886-1948）尝试改造一个非常失败的哥廷根翼型（Göttingen 398）时提出的。Clark Y翼型的特点是，它的下底面几乎全部是平的。有趣的是，虽然这个翼型的气动性能完全没有达到克拉克的期望，但是它却大大的简化了机翼和螺旋桨的制造和安装，一时之间竟然成为了最流行的翼型。而这些理论探索和工程实践最终促成了应用最广泛的NACA翼型族。在这当中贡献最大的是两位美国空气动力学家，雅可比（Eastman Jacobs，1902-1987）和西奥多森（Theodore Theodorsen，1897-1978）。而这两位空气动力学家应用的方法正是由茹科夫斯基构建的那套复变函数分析法。值得一提的是，西奥多森是一位非常有魅力的科学家，他不仅能够完成最有难度的理论研究，又能够将自己的研究成果应用于NACA的实际需求。同时西奥多森的研究也是非常有自己风格的，与当时其他的空气动力学家（如von Karman）不同，他致力于找到翼型压力分布的精确解而不是近似解[1]。而他的研究成果（空气动力、翼型颤振和相对论）对现在的研究工作者依然有所启示。有趣的是在NACA的会议室里，两位科学家（Jacobs和Theodorsen）经常发生争论，大多数情况下，西奥多森会用自己高超的数学功底碾压雅可比。但是在争论中，雅可比渐渐发现了茹科夫斯基方法中最致命的问题——奇点。所有的分析都是在奇点（singularity）之外进行的，没有人知道奇点内部是什么。而当时实验中人们又发现，茹科夫斯基的方法对翼型阻力和失速（升力曲线的下降段）分析是无能为力的。回答这些问题的是德国科学家普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在他新近提出的边界层理论当中指出在“奇点”内部，物面边界之外存在着一个粘性很强的“薄层”。同时普朗特提出了这一“薄层”的控制方程——边界层方程。边界层理论不仅在理论界回答了奇点内部的问题，同时在工程界解释了翼型阻力和失速的原因，它是近代流体力学的开端。雅可比了解了边界层理论后，将其成功地应用在翼型的设计当中，这项技术催生了低阻力的NACA层流翼型（low-drag laminar flow airfoil）和当时美国空军最先进的野马战斗机（P-51 Mustang），从而影响了二次世界大战的进程。1928年，英国空气动力学家格劳特（Hermann Glauert，1892-1934）提出了可压缩空气动力学理论，这标志着人类可以设计更高速的飞行器。在当时军事工业的推动下，人类的运动速度比上世纪快了整整一个数量级，从而人类社会的信息、交通和战争等等都发生了巨变。

图二：NACA翼型升阻力曲线

湍流（turbulence）——谜题与遐思（1946-现今）

普朗特在他的边界层理论中提出了一个近似模型（混合长度模型）用以考虑湍流边界层的效应（湍流边界层阻力较层流边界层要高）。他的许多学生都尝试抛弃这个近似模型，去获取一个描述湍流的精确模型以封闭边界层方程，但是无一例外都失败了。其实“湍流”这个问题起源于英国科学家雷诺（Osborne Reynolds，1842-1912）关于管道流动的研究（1883），在“一定条件”，管道入口的微小扰动可以导致整个管道内的流体变得湍动起来（蝴蝶效应）。有趣的是，粘性流体方程组（Navier-Stokes Equations）的解也会在“一定条件”下存在着不确定的解，也就是说它的解是混沌的。所以在湍流诞生之初，就带着谜一样的特性。据说，德国物理学家海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）逝世前就曾经说过：“如果我见到上帝一定要问他两个问题，什么是相对论，什么是湍流，但是我只相信他对第一个问题有答案”。不幸的是，在大多数翼型上面，都能看到湍流的影子。1945年我国物理学家周培源在日军炮火下的昆明完成了关于湍流的一篇论文——《on velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent equation》,1946年世界上第一台计算机（ENIAC）诞生了，这两项成果直接地催生了现代应用最广泛的工程湍流模型[2]，这使得人们可以用计算机求解湍流问题。但是人类对于湍流问题探索的脚步才只是刚刚开始。而回首过去，从伯努力到欧拉，再从拉普拉斯到茹科夫斯基，再从西奥多森到普朗特，总感觉有什么冥冥中把这延续两百多年的科学研究联系在了一起，也许是“翼型”，也许是人类对于未知的好奇和对真理的不懈追求吧。

参考文献：

[1] R. T. Jones. Classical Aerodynamic Theory, NASA report (1050), P257-291, 1979.

[2] B. E. Launder, D. B. Spalding. The Numerical Computation of Turbulent Flows, Numerical Prediction of Flow, Heat Transfer, Turbulence and Combustion, P96-116, 1983